数学書の読み方に関する記事まとめ

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数学の勉強の仕方について、Twitterなどで知った記事のリンクをまとめてみる。

セミナーの準備のしかたについて

  1. 「全部完全にわかった」という状態になるまで、考えたり、調べたり、人に聞いたりしなくてはならない。
    • 自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然調べなくてはならない。
  2. 本を閉じてノートに、定義、定理、証明などを書き出してみる。
    • すらすら書ければよいが、そうでなければ自分で新たに考えてみる。
      • 「どのような定義をするべきか」
      • 「定理の仮定は何が適当か」
      • 「証明の方針は何か」
      • 「本当にこの仮定がないとだめなのか」
      • 「どのような順序でlemmaが並んでいるべきか」
    • これを何度も自然にすらすらと書き出せるようになるまで繰り返す。
  3. 紙に書き出すかわりに頭の中だけで考えてみる。
    • 全体の流れや方針、ポイントを頭の中だけで再現する。
      • 「定義は何か」
      • 「定理の仮定は何か」
      • 「証明のポイントはどこか」
    • できなければ、本やノートを見て復習し、きるようになるまで繰り返す。
  • 数学の論理は有機的につながっていて、定義でも、仮定でも、補題の順番でも、何か理由があってそうなっているのだから、全体の構造を理解していれば、正しく再現できるようになる。

takey_y さんの「数学書の読み方」 - Togetter と 竹山美宏 - 数学書の読み方について - researchmap

  1. 本に出てくる定義・命題・補題・定理を、一字一句そのままノートに書きうつす。
  2. 登場している単語(用語)の定義を言えるかどうか、ひとつひとつ自分でチェックする。
  3. 命題・補題・定理・系については、その仮定と結論をそれぞれまとめておく。
  4. 命題などの証明も、とりあえず一字一句、一文一文、ていねいに写し、一文ごとに「なぜそうなのか？」を確認する。
  5. それできちんと理解できたら、もとの分からなかった一文に、自分なりの解説をつける。
  • こういう作業をしてると、本を読むのにとてつもない時間がかかるが、それが普通。
  • 数学書は燃費が良い!
  • たとえ一冊でもそういう作業をすれば、自信が持てるし、二冊めからはもっとスイスイ読めるようになる。

数学の学び方に関するヒント

  • 正攻法は、数学の良い本を一冊選び、それを熟読すること。
  • 1日に数学の本を1ページづつ読んで行けば、たまに休んだとしても1年で300ページの本を1冊読むことができる。

数学の本の読み方

  1. 論理的に厳密に理解すること。
    • 論理的に厳密に考えることが、息をするのと同様にできるようになるよう努力しなければいけない。
  2. 一般論がどのように応用されているかを豊富な具体例および具体的な計算によっ て知ること。
    • 定理の重要さは、それを応用してみて、初めて認識されることが多い。
  3. 今読んでいる本に載ってないことを考えること。
    • 本に載っている定理をほんの少し一般化したり、
    • 本に載っていない例を構成したり、
    • 本に載っていない計算を試してみたりする。

http://www.mi.s.osakafu-u.ac.jp/~kada/susemi0905/

  • 証明とは読み手を説得するための文章
  • 条件を変形しただけでは証明にならない

ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫) 訳者あとがき

  1. 書くこと
    • 単に目で読み、考えていくという学習法ではなく、書きながら進むこと。後で読み返すためのノートではなく、書き捨てノートとボールペンを用意することである。そして独自の図や記号を伴いながら進めていく。
  2. 覚えること
    • 一度の通読で分かる内容ではない。少なくとも3回は学び返すことになろう。数学の理論は"定義"にはじまり、"定理"と"Example"を繰り返しながら積み上げられていく。それらを書きながら覚えることを心がけつつ書き捨てノートを進めることをすすめる。
  3. まねること
    • 定理の構成の中ばかりでなく、いやそれ以上にその証明の中に理論の秘密が隠されている。

おまけ

数学は体力だ！